Kalkulus Isaac Newton sebenarnya bermula pada tahun 1665 dengan penemuannya mengenai siri binomial umum (1 + x ) n = 1 + n x + n ( n - 1) / 2! ∙ x 2 + n ( n - 1) ( n - 2) / 3! ∙ x 3 + ⋯ untuk nilai rasional sewenang-wenangnya n . Dengan formula ini dia mampu untuk mencari siri tak terhingga untuk pelbagai fungsi algebra (fungsi y dari x yang memuaskan persamaan polinomial p ( x , y) = 0). Sebagai contoh, (1 + x ) −1 = 1 - x + x 2 - x 3 + x 4 - x 5 + ⋯ dan 1 / Akar kuasa dua √ (1 - x 2) = (1 + (- x 2) ) -1/2 = 1 + 1/ 2 ∙ x 2 + 1 ∙ 3/ 2 ∙ 4 ∙ x 4 + 1 ∙ ∙ 3 5/ 2 ∙ ∙ 4 6 ∙ x 6 + ⋯.
Kuiz Astronomi dan Kuiz Angkasa Apakah bahagian yang dapat dilihat dari Matahari? Pada gilirannya, ini menjadikan Newton menjadi siri tak terhingga untuk penyatuan fungsi algebra. Sebagai contoh, beliau memperolehi logaritma dengan mengintegrasikan kuasa x dalam siri ini untuk (1 + x ) -1 satu demi satu, log (1 + x ) = x - x 2/ 2 + x 3/ 3 - x 4 / 4 + x 5/ 5 - x 6/ 6 + ⋯, dan siri songsang sinus dengan mengintegrasikan siri untuk 1 akar / Dataran √ (1 - x 2), dosa-1 ( x ) = x + 1/ 2 ∙x 3/ 3 + 1 ∙ 3/ 2 ∙ 4 ∙ x 5/ 5 + 1 ∙ ∙ 3 5/ 2 ∙ ∙ 4 6 ∙ x 7/ 7 + ⋯.
Akhirnya, Newton menobatkan prestasi virtuoso ini dengan mengira siri terbalik untuk x sebagai satu siri kuasa y = log ( x ) dan y = sin − 1 ( x ), masing-masing, mencari siri eksponen x = 1 + y / 1! + Y 2/ 2! + Y 3/ 3! + Y 4/ 4! + ⋯ dan siri sinus x = y - y 3/ 3! + Y 5/ 5! - y 7 /7! + ⋯.
Perhatikan bahawa satu-satunya pembezaan dan integrasi yang diperlukan Newton adalah untuk kekuatan x , dan karya sebenarnya melibatkan pengiraan aljabar dengan siri tak terhingga. Sesungguhnya, Newton melihat kalkulus sebagai analog algebra aritmetik dengan perpuluhan tak terhingga, dan dia menulis dalam bukunya Tractatus de Methodis Serierum et Fluxionum (1671; "Treatise on the Method of Series and Fluxions"):
Saya kagum bahawa tidak ada seorang pun (jika anda kecuali N. Mercator dan kuadraturnya dari hiperbola) yang sesuai dengan doktrin yang baru-baru ini dibentuk untuk nombor perpuluhan hingga pemboleh ubah, terutama kerana jalan itu kemudian terbuka untuk akibat yang lebih mencolok. Oleh kerana doktrin spesies ini mempunyai hubungan yang sama dengan Algebra bahawa doktrin nombor perpuluhan mempunyai Aritmetik yang sama, pengoperasiannya Penambahan, Pengurangan, Pendaraban, Pembahagian dan Pengekstrakan Akar dapat dengan mudah dipelajari dari yang terakhir.
Bagi Newton, pengiraan seperti itu merupakan lambang kalkulus. Mereka dapat ditemukan dalam De Methodis dan manuskrip De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas (1669; “On Analysis by Equations with a Infinite Number of Terms”), yang dia tersekat ketika menulis setelah seri logaritmiknya ditemui kembali dan diterbitkan oleh Nicolaus Mercator. Newton tidak pernah menyelesaikan De Methodis , dan, di sebalik semangat segelintir orang yang diizinkannya membaca De Analysi , dia menahannya dari penerbitan hingga 1711. Ini, tentu saja, hanya menyakitinya dalam pertikaian keutamaannya dengan Gottfried Wilhelm Leibniz.
